Một khái niệm phương Đông, được sinh ra ở vùng Lưỡi liềm Phì nhiêu vài thế kỷ trước khi Chúa Jesus ra đời, số không không chỉ gợi lên hình ảnh của một sự trống rỗng căn bản mà còn mang trong mình nhiều tính chất toán học nguy hiểm. Bên trong nó có một sức mạnh có thể phá vỡ khuôn khổ của logic.

Những sự khởi đầu của tư tưởng toán học được hình thành từ mong muốn đếm cừu, và nhu cầu theo dõi tài sản và sự trôi đi của thời gian. Không nhiệm vụ nào trong đó cần đến số không; các nền văn minh vẫn hoạt động hoàn toàn ổn suốt nhiều thiên niên kỷ trước khi nó được phát hiện ra. Quả thế, với nhiều nền văn hóa, số không đáng ghét đến mức người ta chọn sống không có nó.

Với một người thời hiện đại, thật khó mà hình dung ra một cuộc sống không có số không, cũng hệt như thật khó mà hình dung ra một cuộc sống không có số 7 hay số 31. Tuy vậy từng có thời chẳng hề có số không, cũng hệt như chẳng có số 7 và 31. Thời đó còn trước khi có lịch sử, vì thế các nhà cổ sinh vật học đã phải chắp nối từng mẩu đá
và xương để làm nên câu chuyện về sự ra đời của toán học. Từ những mảnh vụn đó, các nhà nghiên cứu khám phá ra rằng các nhà toán học thời Đồ đá có đôi chút thô lỗ hơn các đồng nghiệp thời hiện đại. Thay vì bảng đen, họ lại dùng lũ sói.

Một manh mối then chốt dẫn đến bản chất của toán học thời đồ đá được khai quật vào cuối những năm 1930 khi nhà khảo cổ học Karl Absolom, đang sàng những lớp bụi ở xứ Tiệp Khắc thời ấy, phát hiện ra một mảnh xương chó sói 30.000 năm tuổi có khắc một chuỗi các vết khía. Không ai biết anh chàng người tiền sử Gog đã dùng mảnh xương đó để đếm số nai anh ta giết được, số hình hang động mà anh ta vẽ hay số ngày kể từ lần cuối anh ta tắm rửa, nhưng một điều khá rõ ràng là người tiền sử đang đếm thứ gì đó.

Một mảnh xương chó sói với người thời Đồ đá cũng tương đương với một siêu máy tính thời nay. Tổ tiên của Gog thậm chí còn không đếm nổi đến hai, và họ tất nhiên là chẳng cần đến số không. Khi Toán học vừa ra đời, có lẽ người ta chỉ có thể phân biệt giữa một với nhiều. Một người tiền sử có một mũi giáo hoặc nhiều mũi giáo; anh ta đã ăn một con thằn lằn hay nhiều con thằn lằn. Không có cách nào để biểu diễn bất cứ số lượng nào khác ngoài một và nhiều. Theo thời gian, các ngôn ngữ nguyên thủy tiến hóa dần để có thể phân biệt được một, hai với nhiều, và cuối cùng là một, hai, ba với nhiều, nhưng không có từ nào để chỉ các số lớn hơn. Một số ngôn ngữ đến giờ vẫn còn nhược điểm đó. Thổ dân da đỏ Siriono ở Bolivia và người Yanoama ở Brazil không có từ nào cho các thứ lớn hơn ba; thay vào đó, hai bộ lạc này sử dụng các từ có nghĩa là “nhiều”.

Chính nhờ cái bản chất các con số là chúng có thể cộng lại để tạo ra số mới mà hệ đếm đã không dừng lại ở số ba. Một thời gian sau, những thành viên bộ lạc thông minh bắt đầu nối các từ-gọi-tên-số thành một cụm để tạo ra nhiều số hơn. Các ngôn ngữ hiện được các tộc người Bacairi và Bororo ở Brazil sử dụng cho ta thấy quá trình này trong thực tế; họ có các hệ đếm bắt đầu với “một”, “hai”, “hai và một”, “hai và hai”, “hai và hai và một” và cứ thế tiếp diễn. Những người này đếm theo các bộ hai. Các nhà toán học gọi đó là hệ nhị phân.

Ít tộc người đếm theo các bộ hai như người Bacairi và Bororo. Mảnh xương sói đã nói ở trên dường như là điển hình hơn cho những hệ đếm cổ. Mảnh xương sói của Gog có 55 vết khía nhỏ, được sắp xếp cứ năm cái một; có một khía thứ hai sau 25 dấu đầu tiên. Trong nó thật đáng ngờ cứ như thể Gog đang đếm năm cái một, rồi tính tổng theo các nhóm năm. Việc đếm số các dấu khắc theo nhóm thì nhanh hơn nhiều so với đềm từng cái một. Các nhà toán học hiện đại sẽ nói rằng Gog, kẻ khắc xương chó sói, sử dụng một hệ đếm cơ số năm, hay còn gọi là hệ ngũ phân.

Nhưng tại sao lại là năm? Về cơ bản, đây là một quyết định tùy ý. Ví thử Gog kiểm đếm theo các bộ bốn, và đếm các nhóm bốn và 16, hệ đếm của anh ta vẫn cứ vận hành tốt như cũ, cũng chẳng khác gì nếu như anh ta đếm theo các nhóm sáu và 36. Việc phân nhóm không ảnh hưởng gì đến số dấu khắc trên mảnh xương; chỉ ảnh hưởng đến cách Gog đếm chúng khi khắc xong – và anh ta sẽ luôn nhận được cùng một kết quả bất kể đếm theo cách nào. Tuy nhiên, Gog thích đếm theo các bộ năm hơn là bốn, và mọi người khắp thế giới có chung ý thích với anh. Việc bàn tay con người có năm ngón là một sự tình cờ của tạo hóa, và bởi sự tình cờ đó, năm có vẻ là hệ cơ số được ưa chuộng trong nhiều nền văn hóa. Ví dụ, người Hy Lạp cổ đại dùng từ “đếm các bộ năm” để chỉ quá trình kiểm đếm.

Ngay cả trong các lược đồ đếm nhị phân ở Nam Mỹ, các nhà ngôn ngữ học cũng nhìn thấy sự khởi đầu của một hệ ngũ phân. Một cụm từ khác trong tiếng Bororo thay cho “hai và hai và một” là “đây là cả bàn tay của tôi.” Rõ ràng, các bộ tộc cổ đại thích đếm bằng các bộ phận cơ thể của họ, và năm (một bàn tay), mười (cả hai bàn tay), và hai mươi (cả hai bàn tay và hai bàn chân) là những thứ được yêu thích. Trong tiếng Anh, mười một và mười hai dường như bắt nguồn từ “hơn [mười] một đơn vị” và “hơn [mười] hai đơn vị”, trong khi mười ba, mười bốn, mười lăm, v.v., là những từ thu gọn của “ba và mười”, “bốn và mười” và “năm và mười”. Từ đó, các nhà ngôn ngữ học kết luận rằng mười là đơn vị cơ bản trong các ngôn ngữ Giéc- manh, vốn là ngôn ngữ nguyên thủy của tiếng Anh, và do đó những người này sử dụng hệ đếm cơ số 10. Mặt khác, trong Tiếng Pháp, tám mươi là quatre-vingts (bốn lần hai mươi), và chín mươi là quatre-vingt-dix (bốn lần hai mươi và mười). Điều này có thể có nghĩa là những người sống ở nơi ngày nay là nước Pháp sử dụng một hệ đếm cơ số 20 hay hệ nhị thập phân. Các số như 7 và 31 thuộc tất cả các hệ đếm đó, ngũ phân, thập phân, cũng như nhị thập phân. Tuy nhiên, không hệ đếm nào trong số đó có số không. Khái niệm này đơn giản là không hề tồn tại.

Ta không bao giờ cần theo dõi không con cừu hoặc đếm không người con. Thay vì “Chúng tôi có không quả chuối”, người bán hàng tạp hóa nói, “Chúng tôi không có quả chuối nào”. Ta không cần phải có một con số để thể hiện sự thiếu hụt của một thứ gì đó, và không ai nghĩ đến việc gán một ký hiệu cho sự thiếu vắng của các đối tượng. Đây là lý do tại sao mọi người vẫn sống mà không có số không lâu đến vậy. Đơn giản là nó không cần thiết. Số không không bao giờ xuất hiện.

Trên thực tế, nhận biết về các con số là một khả năng đáng kể vào thời tiền sử. Chỉ cần biết đếm đã được xem là một tài năng cũng huyền bí và bí ẩn như việc niệm chú và gọi tên các vị thần. Trong cuốn Tử thư Ai Cập, khi thử thách một linh hồn đã chết, Aqen, người lái đò đưa những linh hồn đã khuất qua một con sông ở thế giới bên kia, từ chối bất kỳ ai “không biết số ngón tay của mình” lên đò. Để thỏa mãn yêu cầu của người lái đò, linh hồn phải đọc to một đoạn thơ đếm để đếm số ngón tay của mình. (Ngược lại, người lái đò trong truyền thuyết Hy Lạp thì lại muốn lấy tiền, được giấu dưới lưỡi của người đã chết.)

Mặc dù khả năng đếm rất hiếm trong thế giới cổ đại, nhưng các con số và những nguyên tắc cơ bản của việc đếm luôn phát triển trước việc viết và đọc. Khi các nền văn minh sơ khai bắt đầu ép cây sậy vào các phiến đất sét, khắc hình vẽ lên đá và bôi mực lên các tấm da và giấy papyrus, thì các hệ đếm đã được thiết lập tốt. Việc chuyển hệ thống số ở dạng lời nói thành dạng viết là một nhiệm vụ đơn giản: người ta chỉ cần tìm ra một phương pháp mã hóa để những người ghi chép có thể ghi lại các con số ở dạng lâu dài hơn. (Một số xã hội thậm chí còn tìm ra cách để làm điều này trước khi họ phát hiện ra chữ viết. Ví dụ, người Inca không có chữ viết đã sử dụng quipu, một đoạn dây thừng có các nút thắt màu sắc, để ghi lại các phép tính.)

Những người ghi chép đầu tiên đã viết các con số theo cách phù hợp với hệ thống cơ số của mình và có thể đoán trước được là họ đã làm theo cách súc tích nhất mà họ có thể nghĩ ra. Xã hội đã tiến bộ kể từ thời Gog. Thay vì tạo ra những nhóm các dấu nhỏ lặp đi lặp lại, những người ghi chép tạo ra các ký hiệu cho từng loại phân nhóm; trong hệ cơ số năm, người ghi chép có thể tạo một dấu hiệu nào đó cho số một, một ký hiệu khác cho một nhóm năm, một dấu hiệu khác cho nhóm 25, và cứ thế tiếp diễn.

Người Ai Cập làm đúng như vậy. Cách đây hơn 5.000 năm, trước thời của các kim tự tháp, người Ai Cập cổ đại đã thiết kế một hệ thống để ký hiệu hệ thập phân của họ, dùng hình ảnh biểu diễn các con số. Một dấu sổ thẳng thể hiện một đơn vị, còn hình xương gót chân biểu diễn số 10, một cái lưới bẫy chim xoáy tượng trưng cho 100, v.v.. Để viết một số theo lược đồ này, người ghi chép Ai Cập chỉ việc ghi lại các nhóm ký hiệu đó. Thay vì phải viết ra 123 dấu tích để biểu thị số “một trăm hai mươi ba”, người ghi chép viết sáu ký hiệu: một cái bẫy, hai gót chân và ba dấu sổ. Đó là cách làm toán điển hình trong thời cổ đại. Và giống như hầu hết các nền văn minh khác, Ai Cập không có – hoặc không cần – một con số không.

Tuy nhiên, người Ai Cập cổ đại là những nhà toán học khá tinh tế. Họ là những nhà thiên văn học và người tính giờ bậc thầy, điều đó có nghĩa là họ phải sử dụng toán học ở mức cao, do bản chất thay đổi liên tục của lịch.

Tạo ra một bộ lịch ổn định là một vấn đề đối với hầu hết các dân tộc cổ đại, bởi họ thường bắt đầu bằng một bộ lịch theo Mặt Trăng: độ dài của một tháng là thời gian giữa các lần trăng tròn liên tiếp. Đó là một lựa chọn tự nhiên; sự tròn và khuyết của Mặt Trăng trên bầu trời rất khó bỏ qua, và theo một cách thuận tiện nó giúp ta đánh dấu các chu kỳ tuần hoàn của thời gian. Nhưng tháng theo lịch mặt trăng có độ dài giữa 29 và 30 ngày. Bất kể ta sắp xếp nó như thế nào, 12 tháng âm lịch chỉ có tổng cộng khoảng 354 ngày – thiếu khoảng 11 ngày so với độ dài của năm dương lịch. Mười ba tháng âm lịch thì lại thừa ra khoảng 19 ngày. Vì năm dương lịch, chứ không phải năm âm lịch, quyết định thời gian thu hoạch và trồng trọt, nên các mùa dường như
bị lệch dần khi ta tính theo một năm âm lịch chưa hiệu chỉnh.

Hiệu chỉnh lịch âm là một công việc phức tạp. Một số quốc gia hiện đại, như Israel và Ả Rập Xê Út, vẫn sử dụng một bộ lịch âm đã cải biên, nhưng từ 6.000 năm trước, người Ai Cập đã nghĩ ra một hệ thống tốt hơn. Phương pháp của họ là một cách đơn giản hơn nhiều để theo dõi sự trôi qua của các ngày, tạo ra một bộ lịch ăn khớp với các mùa trong nhiều năm. Thay vì dùng Mặt Trăng để theo dõi sự trôi qua của thời gian, người Ai Cập sử dụng Mặt Trời, giống như hầu hết các quốc gia ngày nay.

Lịch Ai Cập có 12 tháng, giống như lịch âm, nhưng mỗi tháng dài 30 ngày. (Là những người dùng hệ cơ số 10, tuần của họ, thập nhật, có 10 ngày.) Vào cuối năm, có thêm năm ngày, nâng tổng số lên thành 365. Loại lịch này là nguồn gốc cho lịch của chúng ta; hệ thống Ai Cập đã được người Hy Lạp và sau đó là La Mã áp dụng, nơi nó được cải biên bằng cách thêm vào năm nhuận, và sau đó trở thành lịch tiêu chuẩn của thế giới phương Tây. Tuy nhiên, vì người Ai Cập, người Hy Lạp và người La Mã không có số không, nên lịch phương Tây không có số không nào – một sự thiếu sót sẽ gây ra những rắc rối nhiều thiên niên kỷ sau đó.

Sự đổi mới của người Ai Cập về lịch mặt trời là một bước đột phá, nhưng họ đã tạo ra một dấu ấn thậm chí còn quan trọng hơn trong lịch sử: sự phát minh ra bộ môn hình học. Ngay cả khi không có số không, người Ai Cập đã nhanh chóng trở thành bậc thầy về toán học. Họ buộc phải trở nên như vậy, do có một dòng sông dữ dội. Hằng năm, sông Nile sẽ tràn bờ và gây ngập lụt đồng bằng. Tin tốt là lũ lụt làm lắng đọng phù sa màu mỡ trên khắp các cánh đồng, khiến đồng bằng sông Nile trở thành vùng đất nông nghiệp màu mỡ nhất trong thế giới cổ đại. Tin xấu là dòng sông đã phá hủy nhiều mốc giới, xóa sạch mọi chỉ dấu cho người nông dân biết khu đất nào là của họ để canh tác. (Người Ai Cập rất coi trọng quyền sở hữu tài sản. Trong Tử thư Ai Cập, một người mới chết phải thề với các vị thần rằng anh ta không lừa dối hàng xóm của mình qua việc ăn cắp đất đai của họ. Đó là một tội lỗi bị trừng phạt bằng hình thức bị moi tim làm thức ăn cho một con thú khủng khiếp mà người ta gọi là kẻ xé xác. Ở Ai Cập, ăn cắp của hàng xóm được xem là một tội ác tày đình cũng ngang với tội bội ước, giết người hay báng bổ thần linh.)

Các pharaoh cổ đại giao cho các nhân viên đạc điền đánh giá thiệt hại và thiết lập lại các mốc ranh giới, và vì thế hình học đã ra đời. Những nhân viên đạc điền này, hay người chăng dây (được đặt tên theo các thiết bị đo lường và dây thừng có nút thắt được thiết kế để đánh dấu các góc vuông), dần dần học được cách xác định diện tích của các lô đất bằng cách chia chúng thành các hình chữ nhật và hình tam giác. Người Ai Cập cũng học cách đo thể tích của các vật thể – như kim tự tháp. Toán học Ai Cập nổi tiếng khắp Địa Trung Hải, và nhiều khả năng là các nhà toán học Hy Lạp thời kỳ đầu, những bậc thầy về hình học như Thales và Pythagoras, đã theo học ở Ai Cập. Tuy nhiên, cho dù người Ai Cập có những thành tựu hình học xuất sắc, số không không hề xuất hiện ở bất kỳ đâu trên đất Ai Cập.

Một phần là do người Ai Cập có khuynh hướng thực tế. Họ không bao giờ tiến xa hơn việc đo thể tích và đếm ngày và giờ. Toán học không được sử dụng cho bất kỳ điều gì không thực tế, ngoại trừ hệ thống chiêm tinh của họ. Kết quả là, các nhà toán học giỏi nhất của họ không có khả năng sử dụng các nguyên lý hình học cho bất kỳ điều gì không liên quan đến các vấn đề thực tế – họ không biến hệ thống toán học của mình thành một hệ thống logic trừu tượng. Họ cũng không có xu hướng đưa toán học vào triết học của mình. Người Hy Lạp thì khác; họ sẵn sàng đón nhận sự trừu tượng và triết học, và đưa toán học lên đến đỉnh cao nhất vào thời cổ đại. Ấy vậy mà người Hy Lạp cũng chẳng phải là những người phát minh ra số không. Số không đến từ phương Đông, chứ không phải phương Tây.

- Trích sách "Số 0: Tiểu sử một phát kiến nguy hiểm"