Một trong những công cụ quan trọng nhất để rèn tư duy phản biện với những con số, đó là: hãy cho phép bản thân đưa ra những câu trả lời sai, thậm chí cố tình sai cũng được!
Các kỹ sư và nhà khoa học vẫn thường xuyên làm điều đó. Thế nên, không lý do gì mà chúng ta không “học lỏm” bí kíp của họ: nghệ thuật xấp xỉ hay còn gọi là tính nhẩm sơ sơ kiểu “viết vội lên giấy ăn”.
Nhà văn người Anh Saki từng nói: “Một chút sai số đôi khi giúp bạn tiết kiệm được cả đống lời giải thích.”
Trong hơn một thập kỷ, Google từng nổi tiếng với những buổi phỏng vấn mà họ đưa ra toàn câu hỏi không có đáp án đúng. Lý do là vì: Google là một công ty sống dựa vào đổi mới, sáng tạo ra những thứ mới, hoặc cải tiến cái cũ để giúp người dùng làm được điều mà trước đây họ không thể.
So sánh với cách tuyển dụng truyền thống ở hầu hết các công ty: Ở phần kiểm tra kỹ năng, họ muốn biết bạn có làm được việc mà họ cần không. Còn Google thì khác. Họ còn chưa biết họ sẽ cần bạn làm gì cơ! Thứ họ cần biết là: liệu bạn có khả năng tư duy để tự tìm ra cách giải quyết vấn đề không?
Câu hỏi về người chỉnh đàn piano và tòa nhà chọc trời
Quay lại câu hỏi: “Tòa nhà Empire State nặng bao nhiêu?”
Như đã nói, câu hỏi này không có câu trả lời chính xác. Điều Google quan tâm là quá trình suy nghĩ của bạn: bạn tiếp cận vấn đề ra sao? Bạn có logic và tư duy có tổ chức không?
Thông thường, sẽ có 4 kiểu phản ứng với câu hỏi kiểu này:
Những câu hỏi kiểu này còn được gọi là bài toán ước lượng hay bài toán Fermi, đặt theo tên nhà vật lý Enrico Fermi - người nổi tiếng với khả năng luôn đưa ra ước lượng gần đúng nhất chỉ từ những dữ kiện ít ỏi, thậm chí tưởng như chẳng có dữ liệu gì.
Ước lượng không phải là đoán mò đó là quá trình bạn chia nhỏ vấn đề thành các phần dễ xử lý, xác định các giả định hợp lý và dựa vào hiểu biết thông thường về thế giới để lấp đầy các chỗ trống.
Vậy bạn sẽ giải bài toán kiểu Fermi thế nào với câu hỏi: “Có bao nhiêu người chỉnh đàn piano ở Chicago?”
Bắt đầu từ đâu? Với nhiều bài toán kiểu Fermi, cách tiếp cận hiệu quả là không ước lượng trực tiếp thứ được hỏi, mà ước lượng một giá trị trung gian nào đó dễ hình dung hơn, từ đó từng bước tiến tới câu trả lời.
Trong ví dụ này, thay vì đoán ngay số lượng người chỉnh đàn piano ở Chicago, ta có thể bắt đầu bằng cách ước lượng số lượng đàn piano ở Chicago, rồi từ đó tính ra cần bao nhiêu người để chỉnh chúng.
Trong bất kỳ bài toán Fermi nào, chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách xác định cần biết những gì, rồi liệt kê các giả định hợp lý:
Biết được 4 yếu tố trên sẽ giúp bạn tìm ra câu trả lời. Nếu bạn biết mỗi đàn được chỉnh bao lâu một lần và mất bao nhiêu thời gian để chỉnh, bạn sẽ biết mỗi năm cần bao nhiêu giờ để chỉnh một cây đàn. Nhân con số đó với tổng số đàn piano ở Chicago, bạn sẽ biết tổng số giờ cần thiết để chỉnh tất cả đàn trong một năm. Sau đó, chia cho số giờ làm việc của một thợ chỉnh đàn, bạn sẽ ra được số người cần có.
Giả định 1: Mỗi chủ đàn chỉnh đàn 1 lần mỗi năm. Con số này do tôi tự đặt ra! Nhưng đó chính là cách ta làm khi ước lượng. Một lần mỗi năm là hợp lý: không quá ít như 10 năm mới chỉnh một lần, cũng không quá nhiều như 10 lần mỗi năm.
Giả định 2: Mỗi lần chỉnh đàn mất 2 giờ. Cũng là một con số phỏng đoán. Có thể chỉ cần 1 giờ, nhưng 2 giờ vẫn nằm trong khoảng hợp lý.
Giả định 3: Một thợ chỉnh đàn làm việc bao nhiêu giờ mỗi năm? Giả sử mỗi tuần làm 40 giờ, nghỉ 2 tuần mỗi năm: 40 giờ/tuần × 50 tuần = 2.000 giờ/năm. Tuy nhiên, do họ phải di chuyển giữa các nhà, nên có thể mất khoảng 10–20% thời gian chỉ để đi lại. Hãy nhớ điều này để điều chỉnh kết quả sau cùng.
Giả định 4: Cứ 100 người thì có 2 cây đàn piano. Ta đoán rằng 1/100 người có đàn piano. Sau đó, cộng thêm số lượng đàn của các tổ chức như trường học, nhà thờ, nhà văn hóa…, vốn có thể có nhiều đàn. Để đơn giản, giả định rằng số đàn tổ chức ≈ số đàn cá nhân, vậy tổng cộng là 2 cây đàn trên mỗi 100 người.
Bây giờ thì đến bước giả định số người ở thành phố Chicago. Nếu không biết chính xác, bạn có thể nhớ rằng Chicago là thành phố lớn thứ ba ở Mỹ, sau New York (8 triệu), Los Angele (4 triệu). Vậy Chicago có thể khoảng 2,5 triệu người. Mà cứ 100 người thì có 2 cây đàn, suy ra có 50.000 cây đàn piano ở Chicago.
Tổng kết các ước lượng:
Vậy câu trả lời thật sự là gì? Sách Niên giám điện thoại (Yellow Pages) ở Chicago liệt kê có 83 người lên dây đàn piano. Tuy nhiên, con số này có bao gồm cả các doanh nghiệp có nhiều số điện thoại nên bị liệt kê trùng lặp, và các kỹ thuật viên sửa chữa đàn piano hoặc organ, chứ không chỉ là người chuyên lên dây đàn. Nếu ta trừ khoảng 25 mục vì lý do này, thì còn lại khoảng 58 người lên dây đàn – gần như khớp hoàn toàn với con số chúng ta vừa ước lượng.
Nhưng khoan, còn tòa nhà Empire State thì sao?
Quay lại với câu hỏi phỏng vấn của Google: “Tòa nhà Empire State nặng bao nhiêu?” Nếu bạn đang ngồi trong phòng phỏng vấn, người phỏng vấn sẽ muốn bạn suy nghĩ thành tiếng và giải thích cách bạn lý luận.
Có vô số cách để tiếp cận câu hỏi này. Nhưng điều quan trọng không phải là con số cuối cùng, mà là cách bạn suy nghĩ và đưa ra giả định để giải quyết vấn đề.
Thử lấy ví dụ. Một cách là ước lượng kích thước tòa nhà trước, rồi từ đó suy ra khối lượng của nó. Tôi sẽ tính khối lượng tòa nhà khi không có người, không nội thất, không thiết bị – chỉ còn phần “vỏ” của tòa nhà. Tôi sẽ giả sử tòa nhà có mặt bằng hình vuông và các cạnh thẳng đứng, không thon dần về đỉnh để đơn giản hóa.
Về kích thước, tôi không biết gì về chiều cao, chiều dài và chiều rộng. Tôi không biết chính xác tòa Empire State cao bao nhiêu tầng, nhưng đoán chắc là hơn 20 tầng và ít hơn 200 tầng.
Tôi không biết mỗi tầng cao bao nhiêu nhưng dựa vào những tòa nhà khác, tôi ước lượng một tầng thường cao khoảng 8 feet bên trong, cộng thêm 2 feet cho trần giả để đi dây điện, ống nước, điều hòa... nên tôi sẽ lấy trung bình 10 - 15 feet mỗi tầng.
Tôi sẽ điều chỉnh lại ước tính về chiều cao và cho rằng tòa nhà này cao hơn 50 tầng. Tôi từng vào nhiều tòa nhà cao khoảng 30–35 tầng, và Empire State chắc chắn cao hơn thế. Tôi đặt giới hạn cho ước tính của mình: Thấp nhất là 50 tầng, tương đương khoảng 500–750 feet (vì mỗi tầng cao 10–15 feet), cao nhất là 100 tầng, tương đương 1.000–1.500 feet. Vậy chiều cao của tòa nhà nằm trong khoảng 500 đến 1.500 feet. Để dễ tính toán, tôi sẽ lấy con số trung bình: 1.000 feet.
Bây giờ đến phần diện tích đáy (mặt bằng) của tòa nhà. Tôi không biết chính xác tòa nhà chiếm bao nhiêu diện tích, nhưng tôi chắc chắn nó không lớn hơn một dãy phố. Tôi nhớ rằng có khoảng 10 dãy phố trong một mile, tức là: 1 mile = 5.280 feet → 1 dãy phố = 528 feet (làm tròn thành 500 feet cho dễ tính).
Tôi đoán rằng Empire State Building rộng khoảng một nửa dãy phố, tức là mỗi cạnh của tòa nhà khoảng 265 feet. Giả sử tòa nhà có hình vuông, thì diện tích đáy sẽ là 265 x 265 feet.
Tôi không tính nhẩm được phép nhân này trong đầu, nhưng tôi biết cách tính 250 x 250 → 25 x 25 = 625, thêm hai số 0 là 62.500. Tôi sẽ làm tròn kết quả thành 60.000 để dễ tính hơn cho các bước tiếp theo.
Giờ thì ta đã có kích thước của tòa nhà. Từ đây có nhiều cách để tiếp tục, nhưng tất cả đều dựa trên một thực tế: phần lớn bên trong tòa nhà là rỗng — tức là nó không đặc kín. Trọng lượng của tòa nhà chủ yếu nằm ở tường, sàn và trần. Tôi hình dung rằng tường được làm bằng thép, còn sàn thì là sự kết hợp giữa thép và bê tông.
Thể tích của tòa nhà được tính bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. Ước tính trước đó của tôi về diện tích đáy là 60.000 feet vuông, còn chiều cao là 1.000 feet. Vậy nên, 60.000 x 1.000 = 60.000.000 feet khối. Tôi chưa tính đến việc tòa nhà thon dần về phía trên, nhưng thôi cứ đơn giản hóa để dễ tính.
Tôi có thể ước tính độ dày của tường và sàn, rồi tính xem mỗi foot khối vật liệu nặng bao nhiêu, từ đó ra được khối lượng mỗi tầng. Nhưng cách đó nghe có vẻ phức tạp. Một cách khác là đặt giới hạn trên và dưới cho khối lượng của tòa nhà, ví dụ: Nó nặng hơn nếu toàn bộ thể tích đó chỉ là không khí đặc, và nhẹ hơn nếu toàn bộ thể tích đó là thép đặc (vì bên trong phần lớn là rỗng). Cách đầu tiên thì rườm rà, còn cách thứ hai lại cho ra khoảng chênh lệch quá lớn, không thực tế. Nên tôi chọn cách pha trộn: Tôi giả sử rằng trong mỗi tầng, 95% thể tích là không khí, còn lại 5% là thép.
Thật ra thì con số tôi đưa ra hoàn toàn là "ước chừng theo cảm tính", nhưng nghe có vẻ hợp lý. Nếu chiều rộng của một tầng khoảng 265 feet, thì 5% của 265 là khoảng 13 feet. Tức là tổng độ dày của các bức tường bên ngoài và các tường chịu lực bên trong là khoảng 13 feet. Với ước lượng theo cấp số mười (order of magnitude), điều này khá hợp lý - tổng độ dày tường không thể chỉ là 1,3 feet (nhỏ hơn một bậc), mà cũng không thể là 130 feet (lớn hơn một bậc).
Tôi nhớ từ thời còn đi học rằng 1 foot khối không khí nặng khoảng 0,08 pound. Tôi sẽ làm tròn lên 0,1 pound cho dễ tính. Dĩ nhiên, tòa nhà không chỉ toàn là không khí, nhưng phần lớn không gian bên trong là rỗng, nên đây có thể xem là giới hạn dưới cho khối lượng của tòa nhà. Với thể tích là 60.000.000 feet khối, nhân với 0,1 pound mỗi foot khối, ta được: 60.000.000 x 0,1 = 6.000.000 pound.
Tôi không biết chính xác 1 foot khối thép nặng bao nhiêu, nhưng tôi có thể đoán dựa trên so sánh. Có vẻ như thép chắc chắn phải nặng hơn gỗ. Mà tôi cũng không biết gỗ nặng bao nhiêu, nhưng mỗi lần tôi chất củi, tôi thấy một ôm củi nặng cỡ một bao thức ăn cho chó 50 pound. Vậy tôi đoán rằng 1 foot khối gỗ nặng khoảng 50 pound, và thép thì có thể nặng hơn gỗ khoảng 10 lần. Vậy nếu toàn bộ tòa nhà Empire State làm bằng thép đặc, nó sẽ nặng: 60.000.000 foot khối x 500 pound = 30.000.000.000 pound.
Từ đây, tôi có hai giới hạn để tham chiếu: Nếu tòa nhà toàn là không khí, nó nặng 6 triệu pound; Nếu toàn bộ tòa nhà làm bằng thép đặc, nó nặng 30 tỷ pound
Nhưng như tôi đã nói, tôi giả định một tỉ lệ pha trộn: 5% là thép, 95% là không khí. Tính toán:
Cộng lại ta được:
1.500.000.000 + 5.700.000 = 1.505.700.000 pound
Tức là khoảng 1,5 tỷ pound.
Chuyển sang đơn vị tấn (ton), với 1 tấn = 2.000 pound:
1,5 tỷ pound ÷ 2.000 = 750.000 tấn
Ứng viên giả định này đã trình bày rõ các giả định của mình ở từng bước, đặt ra giới hạn trên – dưới để ước lượng, và kết thúc với một con số cụ thể: 750.000 tấn. Làm rất tốt!
Giờ thì thử với ô tô xem sao
Một ứng viên khác có thể tiếp cận bài toán một cách đơn giản và tiết kiệm hơn. Vẫn giữ nguyên các giả định về kích thước tòa nhà và việc nó rỗng ruột, người này có thể đưa ra một cách suy luận ngắn gọn như sau.
Nhà chọc trời được xây bằng thép. Giả sử ta lấp đầy tòa Empire State bằng ô tô. Ô tô cũng rỗng khá nhiều, cũng được làm từ thép, nên có thể coi như một vật thay thế khá hợp lý.
Tôi biết một chiếc ô tô nặng khoảng 2 tấn, và có kích thước xấp xỉ dài 15 feet, rộng 5 feet, cao 5 feet. Mỗi sàn của tòa nhà theo ước tính trên là 265 x 265 feet. Nếu tôi xếp xe nối đuôi nhau dọc theo sàn: 265 feet chiều dài / 15 feet mỗi xe = khoảng 18 xe, tôi làm tròn thành 20 xe một hàng
Mỗi xe rộng 5 feet, tòa nhà rộng 265 feet → 265/5 = 53 → làm tròn thành 50 hàng xe. Vậy mỗi tầng sẽ chứa: 20 xe x 50 hàng = 1.000 xe. Xe cao 5 feet, trần cao 10 feet → xếp được 2 tầng xe, tức là 2.000 xe mỗi tầng. Tòa nhà có 100 tầng → 2.000 x 100 = 200.000 xe. Mỗi xe nặng 4.000 pound → 200.000 x 4.000 = 800.000.000 pound, tức là 400.000 tấn.
Hai cách tính này cho kết quả khá gần nhau (một cái gấp gần đôi cái kia), và điều đó cực kỳ có ích để kiểm tra lại sự hợp lý của mình. Vì bài toán này đã trở nên khá nổi tiếng (thường xuyên được tìm kiếm trên Google), nên Sở Giao thông Vận tải bang New York đã đưa ra con số chính thức của họ: 365.000 tấn.
Vậy là cả hai phép ước lượng đều nằm trong cùng một khoảng hợp lý, chính xác đến cấp độ lũy thừa (order of magnitude) - và đó là tất cả những gì được yêu cầu trong bài toán kiểu này.
Những bài toán kiểu “tính nhẩm trên mặt bao thư” như thế chỉ là một trong nhiều cách để đánh giá khả năng sáng tạo. Một bài kiểm tra khác cũng đo được cả sự sáng tạo lẫn tư duy linh hoạt, nhưng không dựa vào kỹ năng tính toán, là bài “liệt kê càng nhiều công dụng càng tốt”.
Ví dụ, bạn có thể nghĩ ra bao nhiêu cách dùng cho một cây chổi? Một quả chanh thì sao? Đây là những kỹ năng hoàn toàn có thể được nuôi dưỡng từ khi còn nhỏ. Phần lớn công việc hiện đại đều đòi hỏi một mức độ sáng tạo và tư duy linh hoạt nhất định.
Bài kiểm tra “nghĩ ra càng nhiều công dụng càng tốt” từng được dùng làm một phần bài thi đầu vào của các trường đào tạo phi công cho hãng hàng không thương mại. Lý do là vì phi công cần phải phản ứng thật nhanh khi có sự cố, và nghĩ ra được những cách xử lý thay thế nếu hệ thống bị hỏng. Ví dụ: nếu bình cứu hỏa không hoạt động, bạn sẽ dập lửa trong khoang bằng cách nào? Nếu hệ thống thủy lực gặp trục trặc, bạn sẽ điều khiển cánh tà ra sao?
Việc rèn luyện phần tư duy này của não bộ chính là tận dụng sức mạnh của khả năng liên tưởng tự do, tức là chế độ “mơ mộng” của não để giải quyết vấn đề. Và bạn sẽ muốn có những phi công có thể làm điều đó trong tích tắc. Kiểu tư duy này có thể được dạy, luyện tập, và nuôi dưỡng từ khi trẻ mới lên năm. Trong một thế giới công nghệ phát triển chóng mặt với hàng tá điều chưa biết, kỹ năng này ngày càng quan trọng hơn.
Không có câu trả lời đúng tuyệt đối, chỉ có những cơ hội để phát huy sự lanh trí, khám phá các kết nối mới, và để sự nghịch ngợm cùng tinh thần thử nghiệm trở thành một phần quen thuộc trong tư duy của chúng ta. Và chính điều đó sẽ giúp ta giải quyết vấn đề hiệu quả hơn.
- Trích từ cuốn sách “Tư duy có hệ thống” của tác giả Daniel J. Levitin
